San Marino. Da ‘Il Parlante’: con Cantor la matematica imbriglia l’infinito come un tempo lo zero

San Marino. Da ‘Il Parlante’: con Cantor la matematica imbriglia l’infinito come un tempo lo zero

Il libro è in vendita al prezzo di euro 15, con invio a domicilio.  Per modalità e  condizioni clicca: UNILIBRO (disponibile anche in lingua inglese).

SAN MARINO. Oggi su IlSole24Ore Umberto Bottazzini sotto il titolo “Cantor e la matematica del paradiso”, con un evidente richiamo a David Hilbert,  scrive: “Con Cantor la matematica spezza le catene che la tengono legata al mondo fisico e sconfina in quello dell’immaginazione”.  

 

Il tema dell’infinito ricorre più volte  nel libro: “Il parlante. Il linguaggio dalla comparsa al web Motore del successo degli umani“, di Marino Cecchetti (ISBN: 1220024228) disponibile nelle edicole e nelle librerie della Repubblica di San Marino (info: ilparlante@libertas.sm). 

Ecco, ad esempio, come se ne parla in due paragrafi estratti da ‘Il Parlante’ (Cap. 18, Pag. 266).

La matematica ‘imbriglia’ l’infinito 

Per Leopardi – inizio Ottocento – l’infinito  è “un’illusione naturale della fantasia”. Come, del resto, “il nulla”.

 “Il nulla” già era stato ‘tradotto’ nello zero dai matematici. Qualche millennio prima, in India. A fine Ottocento è ‘imbrigliato’ l’infinito. Qui in Europa. Una “conquista”, quella dell’infinito, tra le più grandi della matematica, secondo Bertrand Russell.

Aristotele si era fermato all’infinito potenziale. Un esempio di infinito potenziale è la successione dei numeri naturali: 1, 2, 3, … . Scelto un numero naturale, è sempre possibile trovarne un altro più grande. L’infinito potenziale, in sostanza, consiste nella possibilità di procedere senza limite perché non c’è un elemento ultimo. Altro esempio, lo spazio: dopo una “siepe” c’è, al di là, un ulteriore spazio. Altro esempio, il tempo: per quanto andiamo indietro, c’è del tempo anche prima di qualsiasi inizio che noi fissiamo. Anche prima del Big Bang. L’infinito potenziale è una regola di accrescimento.

Altra cosa l’infinito attuale di cui Aristotele e i matematici del suo tempo e i matematici a seguire, fino all’Ottocento, non avvertirono il ‘bisogno’. Non così Georg Cantor che a fine Ottocento mette anche l’infinito nella matematica. L’infinito in sé. Cioè, appunto, l’infinito attuale. Vale a dire, un infinito compiuto, realizzato. Esempio: l’insieme dei punti di un segmento AB. Tenendo conto che il punto geometrico è privo di dimensione, siamo davanti a un’infinità compiuta, cioè non soltanto completabile. Un infinito già tutto dato. Fra gli estremi del segmento AB, c’è senz’altro il punto di mezzo P; e nel segmento AP c’è senz’altro il punto di mezzo P’; e nel segmento AP’ c’è senz’altro il punto di mezzo P’’. E così via.

Di punti, in ogni tratto, ce ne sono infiniti, come in qualsiasi altro tratto, come nel segmento AB.

Il giochino lo si può ripetere coi numeri decimali: fra 1 e 1,5 ci sta sicuramente 1,25; e fra 1 e 1,25 posso mettere 1,125; e fra 1 e 1,125 posso mettere 1,0625. E così via. Il giochino lo si può fare anche con il linguaggio. Partendo dalla frase Maria saluta Giacomo,  posso anche scrivere: Maria, che conosce Piero, saluta Giacomo. E anche: Maria, che conosce Antonio che conosce Piero, saluta Giacomo. E anche Maria, che conosce Franco che conosce Antonio che conosce Piero, saluta Giacomo.

Sono infiniti gli elementi che stanno – racchiusi, confinati – fra A e B (punti geometrici); fra 1 e 1,5 (numeri decimali); fra Maria e Giacomo (nomi di persone).

L’infinito dentro la matematica col suo simbolo

La quantità di elementi presenti nel caso di un infinito attuale diventa un ente matematico che è rappresentato nei calcoli – come è uso in matematica – da uno specifico simbolo: ∞. L’infinito ha cittadinanza fra i numeri come del resto è avvenuto per lo zero.

Il simbolo ∞ entra come termine nelle comuni operazioni alla pari dei comuni numeri, zero compreso ovviamente. Anzi, particolare attenzione si dedica alle operazioni in cui uno dei termini è 0 oppure ∞ oppure i termini sono 0 e ∞.

Anche i ragazzetti trattano ormai ordinariamente a scuola l’infinito. Nei testi si trovano casi come questi: a : ∞ = 0a : 0 = ∞ (con a diverso da 0∞ : a = ∞a ∙ ∞ = ∞; a + ∞ = ∞

L’infinito in matematica costituisce “un successo sbalorditivo del pensiero umano“, afferma David Hilbert. Una conquista, anche questa, non facile. E tormentata. Quando Cantor cominciò a trattare di infinito attuale, alcuni colleghi gli riservarono giudizi ben diversi da quello di Hilbert. Tacciato di misticismo, fu dileggiato, offeso. Insomma messo alla berlina. Tanto da provocargli un crollo psico-fisico da ‘trattamento sanitario obbligatorio’.

D’altra parte Turing, a metà Novecento, non fu condannato alla castrazione chimica nella civilissima Inghilterra perché transgender?

A Cantor e Turing non è capitato di peggio perché sono vissuti in tempi in cui nelle linde piazze europee i falò con le fascine attorno a un palo erano démodé, e l’ipse dixit era sparito da tempo unitamente a un certo concetto di autorità.

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